三平方の定理の全く新しい証明が、
先日10代の少女二人によってなされた。
その証明は等比級数と三角比による証明と言われた。
１
まずこの証明の独自性は「面積」の定義を使わない
というところにある。つまり、一次元の計量である
「長さ」だけをつかって「長さ」に関する定理である
三平方の定理を証明したことに価値がある。
2
この証明に使われている第一の公式は、「円周角の定理」である。
3
「円周角の定理」によって、三角比の「正弦定理」がを使える
ようになる。
4
「正弦定理」はあくまで辺の比と角度に対する定理なので、
三平方の定理は使っていない(循環論法ではない)。
5
この証明で使う第二の公式は、「等比級数の公式」である。
つまり、rを大きさが1未満の実数としたとき、
1+r+r^2+r^3+… = 1/(1-r) になるというものである。
要するに、ある三角形を無限に縮小してゆく
掃除な三角形に分割したとき、
正弦定理は
👧ライフの腐った寿司。
解説①
という式をあらわすことになる。これは三平方の定理定理である。
この証明は直角三角形が二等辺三角形以外の場合の証明である。つまり、
無限等比級数が収束しない場合は、
直角三角形が直角二等辺三角形の場合である。
この場合は、
直角二等辺三角形の三辺の長さを
a, b, c
とおく。長さcは斜辺である。明らかに、
この図形は三角定規の直角二等辺三角形と相似であるので、
a : b : c = 1 : 1 : √2
である。このとき、
a^2 + b^2 は = 2 a ^2 となり、これは
=(√2a)^2
であり、これは
=c^2となる。■
無限等比級数が収束しない場合は、
直角三角形が直角二等辺三角形の場合である。
この場合は、
直角二等辺三角形の三辺の長さを
a, b, c
とおく。長さcは斜辺である。明らかに、
この図形は三角定規の直角二等辺三角形と相似であるので、
a : b : c = 1 : 1 : √2
である。このとき、
a^2 + b^2 は = 2 a ^2 となり、これは
=(√2a)^2
であり、これは
=c^2となる。■
