補題1
qを整数として1/qは
有限小数または循環小数になる。
証明
qを素因数分解したとき
2または5のみからなる場合は有限小数になる。
2または5以外の素数を含む場合は
循環小数になる。
なぜならpを2または5以外の素数として
1/pは
👧ライフの腐った寿司。
Matsukiの回答
設問の回答
有理数とはpとqを整数としたときに
p/qと表される数のことである。
除法の原理により
p=qn+r
とおく。nは商でありrは剰余である。
rが0のとき、p/qは整数となる。
以下rが1以上であるとして次の命題の証明を行う。
「r/qは、循環しない小数とはなりえない」。
証明
rとqの最大公約数を1とする。
ユークリッドの原理により
rx+qy=1となる整数xyが存在する。
よって
(r/q)xは=1/q-yと表される。
補題1より
右辺は「有限小数または循環小数」になるから
それを整数xで割ったr/qも同じく
そうなる。■
有理数とはpとqを整数としたときに
p/qと表される数のことである。
除法の原理により
p=qn+r
とおく。nは商でありrは剰余である。
rが0のとき、p/qは整数となる。
以下rが1以上であるとして次の命題の証明を行う。
「r/qは、循環しない小数とはなりえない」。
証明
rとqの最大公約数を1とする。
ユークリッドの原理により
rx+qy=1となる整数xyが存在する。
よって
(r/q)xは=1/q-yと表される。
補題1より
右辺は「有限小数または循環小数」になるから
それを整数xで割ったr/qも同じく
そうなる。■
ちょっと先輩にヒントもらうわ
